Durante décadas, la imagen popular de las matemáticas las ha reducido a un conjunto de reglas fijas e inmutables, un edificio concluido donde el número $\pi$ ocupa un lugar casi místico como constante universal. Sin embargo, pocas preguntas revelan la naturaleza viva y contingente de esta disciplina tanto como una aparentemente simple: ¿El valor de $\pi$ sería el mismo en otros universos? Esta cuestión, planteada y analizada en profundidad en el blog *Ask a Mathematician / Ask a Physicist*, nos conduce directamente al corazón de la intersección entre geometría, física y filosofía, obligándonos a distinguir entre lo que pertenece a la estructura de la lógica y lo que es contingente en nuestro cosmos físico (Allain, 2021).

Para abordar esta pregunta con el rigor que merece, es necesario desglosarla en sus componentes fundamentales. La primera distinción crucial, y quizás la más esclarecedora, es aquella entre una constante matemática y una constante física. La velocidad de la luz $c \approx 2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}$, la constante gravitacional de Newton $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2$, o la constante de estructura fina $\alpha \approx 1/137$ son magnitudes que deben ser medidas experimentalmente. Su valor numérico no se deduce de ningún principio lógico; es un hecho contingente del universo que habitamos. Existe incluso un debate activo sobre si estas constantes están «finamente ajustadas» para permitir la existencia de vida, y las teorías del multiverso —como el paisaje de la teoría de cuerdas o la inflación eterna— exploran la posibilidad de que estas constantes varíen entre diferentes regiones del cosmos o entre universos burbuja (Susskind, 2005; Weinberg, 1987; Guth, 2007).

$\pi$, por el contrario, no pertenece a esta categoría. $\pi$ es una constante matemática, no física. Su valor no se determina midiendo círculos en el laboratorio, sino que se deduce lógicamente a partir de definiciones y axiomas. En la geometría euclidiana estándar, $\pi$ se define como la razón entre la circunferencia $C$ de un círculo y su diámetro $D$:

$$
\pi = \frac{C}{D}.
$$

Sabemos que $\pi = 3.1415926535\ldots$ no porque alguien haya salido a medirlo con una cinta métrica de precisión infinita, sino porque los matemáticos, mediante procesos deductivos, han demostrado que esta relación es necesaria en el plano euclidiano (Kline, 1972). Desde una perspectiva filosófica, $\pi$ se acerca a lo que los platónicos considerarían un «Ideal»: un objeto abstracto que existe independientemente de la mente humana y de la realidad física, pero que podemos descubrir mediante la razón (Maddy, 1997; Shapiro, 2000).

Sin embargo, la respuesta del matemático en el artículo del blog introduce una primera capa de complejidad que matiza esta aparente universalidad: todo depende de cómo definamos la «distancia». En la geometría euclidiana estándar, la distancia entre dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ se mide como la línea recta más corta, dada por la métrica pitagórica

$$
d_2(P, Q) = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}.
$$

Pero esta no es la única forma de medir distancias. Si adoptamos la métrica $L_1$, también conocida como geometría del taxista o *taxicab geometry*, la distancia se define como la suma de los desplazamientos horizontales y verticales (Krause, 1986):

$$
d_1(P, Q) = |x_2 – x_1| + |y_2 – y_1|.
$$

Esta métrica modela la distancia que recorre un taxi en una ciudad con calles ortogonales: no puede atravesar las manzanas, sino que debe rodearlas. En este sistema, ¿qué forma tiene un «círculo» —definido como el conjunto de puntos a una distancia constante $R$ de un centro? La respuesta es sorprendente: ya no es una curva suave y redondeada, sino un diamante con forma de cuadrado rotado 45 grados con respecto a los ejes. La «circunferencia» de esta figura —entendida como el perímetro del conjunto de puntos— es $8R$, mientras que su «diámetro» máximo es $2R$. La razón entre ambos es, por tanto:

$$
\pi_{\text{taxicab}} = \frac{C}{D} = \frac{8R}{2R} = 4.
$$

Este resultado demuestra de manera contundente que $\pi$ no es un número absoluto en un sentido geométrico universal, sino que surge de la métrica particular que elijamos para medir el espacio (Krause, 1986; Richman, 1997). Más generalmente, en los espacios $L_p$, donde la distancia se define como

$$
d_p(x, y) = \left( \sum_{i=1}^{n} |x_i – y_i|^p \right)^{1/p},
$$

la forma de la «esfera unitaria» y, por tanto, la constante análoga a $\pi$, varía continuamente con el parámetro $p$. Solo cuando $p = 2$ recuperamos la circunferencia suave y el valor clásico de $\pi$ (Thompson, 1996). La geometría del taxista corresponde al caso $p = 1$, y en el límite $p \to \infty$ obtenemos una esfera con forma de cubo, con su correspondiente constante.

Ahora bien, esta variación de $\pi$ con la métrica podría parecer una curiosidad matemática sin relevancia física. Después de todo, nuestro universo parece estar bien descrito por la geometría euclidiana a escalas locales. Sin embargo, el físico del blog introduce una segunda capa de profundidad: incluso dentro de nuestro propio universo, la relación entre circunferencia y diámetro puede diferir del valor estándar de $\pi$ si realizamos la medición en un espacio curvo. La teoría de la relatividad general de Einstein nos enseña que la presencia de masa y energía curva el espacio-tiempo, y en un espacio curvo la geometría euclidiana deja de ser globalmente válida.

Consideremos, por ejemplo, la superficie de una esfera de radio $R$. Sobre esta superficie, la circunferencia de un «círculo geodésico» —el conjunto de puntos a una distancia $r$ (medida a lo largo de la superficie) de un punto dado— viene dada por

$$
C(r) = 2\pi R \sin\left( \frac{r}{R} \right).
$$

Para un círculo muy pequeño ($r \ll R$), la función seno se aproxima a su argumento y recuperamos el valor euclidiano $C(r) \approx 2\pi r$. Pero para círculos mayores, la curvatura se hace notable. En el caso extremo del ecuador, donde $r = \pi R / 2$ (la distancia desde el polo hasta el ecuador a lo largo de un meridiano), la circunferencia es $2\pi R$, y el «diámetro» —la distancia máxima entre dos puntos opuestos del círculo a través del polo— es $\pi R$. La razón entre ambos es, entonces,

$$
\frac{C}{D} = \frac{2\pi R}{\pi R} = 2.
$$

En un espacio hiperbólico (con curvatura negativa constante $K = -1/R^2$), por el contrario, la circunferencia crece más rápido que en el caso euclidiano. La fórmula correspondiente es

$$
C(r) = 2\pi R \sinh\left( \frac{r}{R} \right),
$$

y la razón $C/D$ puede ser arbitrariamente grande a medida que $r$ aumenta (Coxeter, 1998; Greenberg, 2008). En todos estos casos, $\pi$ sigue apareciendo en las ecuaciones porque el espacio es localmente suave y podemos aproximarlo por un plano tangente euclidiano, pero la relación global entre circunferencia y diámetro deja de ser constante e igual a $\pi$ (Do Carmo, 1992).

Esto nos lleva a una distinción sutil pero fundamental. Cuando los habitantes de un espacio curvo —digamos, una civilización inteligente en la superficie de una esfera gigantesca— miden la relación entre circunferencia y diámetro de sus círculos, obtendrán valores que dependen del tamaño del círculo. Sin embargo, si estos seres son capaces de imaginar conceptos platónicos —puntos, rectas, círculos perfectos en un plano ideal—, pueden deducir que existe un espacio «liso» (el plano tangente) donde la relación es exactamente $\pi$. Es decir, $\pi$ no es un número que se mida en el mundo físico, sino que se deduce en un espacio ideal que podemos concebir mediante la razón. Como señala Colyvan (2001), las entidades matemáticas ocupan un estatus ontológico diferente al de los objetos físicos: son indispensables para la teorización científica, pero no son ellas mismas objeto de medición empírica.

Llegados a este punto, podemos abordar la cuestión del multiverso con mayor claridad analítica. El artículo del blog examina varias propuestas cosmológicas y sus implicaciones para el valor de $\pi$. Examinémoslas con el debido rigor.

En primer lugar, la hipótesis de «universos lejanos» —regiones tan distantes del mismo universo que no interactúan causalmente con nosotros— no implica ninguna variación en las constantes matemáticas. El espacio subyacente es el mismo, la geometría es la misma, y $\pi$ sigue siendo $\pi$. No hay razón para esperar un valor diferente.

En segundo lugar, la interpretación de Muchos Mundos de la mecánica cuántica, propuesta originalmente por Hugh Everett III, sugiere que el universo se ramifica continuamente en múltiples historias paralelas. Sin embargo, estas ramificaciones corresponden a diferentes resultados de mediciones cuánticas, no a diferentes estructuras geométricas o lógicas. El espacio-tiempo subyacente sigue siendo el mismo, y con él, las mismas matemáticas. El valor de $\pi$ permanece inalterado (Ellis, 2007).

En tercer lugar, las teorías del paisaje de la teoría de cuerdas y la inflación eterna postulan que nuevos universos burbuja se forman constantemente, cada uno con constantes físicas ligeramente diferentes —la masa del electrón, la constante cosmológica, la constante de acoplamiento de las interacciones fundamentales—, pero todos ellos construidos sobre el mismo «andamio» del espacio-tiempo y las mismas leyes matemáticas de base. Las constantes físicas pueden variar; las constantes matemáticas, no (Susskind, 2005; Bousso & Polchinski, 2000).

La cuarta categoría, que el artículo denomina honestamente «otros», es la más especulativa y, paradójicamente, la más interesante desde un punto de vista filosófico. Podría haber universos con nociones completamente diferentes de espacio, distancia y geometría —tal vez con una estructura no conmutativa del espacio-tiempo, o con dimensiones fractales, o con una lógica subyacente diferente—, pero la propia naturaleza de nuestra cognición y nuestras matemáticas nos impide reconocerlos o describirlos en nuestros términos. En ese sentido radicalmente especulativo, $\pi$ definitivamente podría ser diferente, pero esta afirmación carece de contenido empírico verificable y se sitúa más allá de los límites de la ciencia tal como la conocemos (Lewis, 1986; Kripke, 1980).

La perspectiva filosófica de los mundos posibles, desarrollada por Saul Kripke y David Lewis, ofrece un marco útil para pensar esta cuestión. En la semántica de mundos posibles, una proposición necesaria es aquella que es verdadera en todos los mundos posibles. Las verdades matemáticas han sido tradicionalmente consideradas como paradigma de proposiciones necesarias: $2 + 2 = 4$ o $\pi = 3.14159\ldots$ en la geometría euclidiana son verdaderas en cualquier mundo posible donde las mismas definiciones y axiomas se sostengan (Kripke, 1980). Sin embargo, el análisis que hemos desarrollado muestra que esta necesidad está calificada: $\pi$ es necesaria en el contexto de la geometría euclidiana, pero si las condiciones geométricas cambian, la constante análoga puede ser diferente. La necesidad de $\pi$ es, por tanto, una necesidad condicional o hipotética: dados ciertos axiomas, ciertas consecuencias se siguen necesariamente (Burgess, 2009; Shapiro, 2000).

Esta conclusión tiene implicaciones profundas para nuestra comprensión de la relación entre matemáticas y realidad. Si $\pi$ no es un número que el universo «haya elegido» al azar, sino una consecuencia necesaria de la estructura geométrica que subyace a nuestro espacio, entonces estudiar matemáticas no es simplemente aprender a hacer cálculos, sino explorar un espacio lógico de posibilidades. Las matemáticas no describen lo que *es* en el sentido empírico, sino lo que *debe ser* —las relaciones necesarias entre conceptos que, una vez fijadas las definiciones, no pueden ser de otra manera. Esta es precisamente la tesis que, como señala el Dr. Dilts en su análisis para el blog *Infinity Plus One*, redefine la naturaleza misma de la disciplina: las matemáticas son una búsqueda del entendimiento, no una mera herramienta de cálculo.

La próxima vez que alguien pregunte si $\pi$ sería el mismo en otro universo, la respuesta más rigurosa y matizada es la siguiente: en la geometría euclidiana, $\pi$ es necesariamente el mismo en cualquier universo que opere bajo esa geometría, porque es una consecuencia lógica de las definiciones. Si el universo en cuestión tiene una métrica diferente o una curvatura global no nula, la relación local entre circunferencia y diámetro puede diferir, pero $\pi$ como constante matemática —como límite de la razón $C/D$ cuando el círculo tiende a ser infinitesimalmente pequeño— permanece como un concepto ideal al que cualquier geometría suave puede aproximarse localmente. En última instancia, $\pi$ no tiene nada que ver con la realidad física contingente, sino con la estructura de la lógica y las matemáticas mismas. Es una demostración fascinante de cómo una pregunta aparentemente simple —un número, un círculo, otro universo— puede abrir las puertas a las cuestiones más profundas sobre la naturaleza de la realidad, el espacio y el conocimiento mismo.

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## Referencias

Allain, R. (2021). Ask a Mathematician / Ask a Physicist: Would π be the Same in Other Universes? *Wired*. Recuperado de https://www.wired.com/story/would-pi-be-the-same-in-other-universes/

Bousso, R. & Polchinski, J. (2000). Quantization of Four-Form Fluxes and Dynamical Neutralization of the Cosmological Constant. *Journal of High Energy Physics*, 2000(06), 006.

Burgess, J. P. (2009). *Philosophy of Mathematics*. Princeton University Press.

Colyvan, M. (2001). *The Indispensability of Mathematics*. Oxford University Press.

Coxeter, H. S. M. (1998). *Non-Euclidean Geometry* (6th ed.). Mathematical Association of America.

Do Carmo, M. P. (1992). *Riemannian Geometry*. Birkhäuser.

Ellis, G. F. R. (2007). The Multiverse: A Vindication of Popper? En B. Carr (ed.), *Universe or Multiverse?* Cambridge University Press.

Greenberg, M. J. (2008). *Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History* (4th ed.). W. H. Freeman.

Guth, A. H. (2007). Eternal Inflation and Its Implications. *Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical*, 40(25), 6811–6826.

Kline, M. (1972). *Mathematical Thought from Ancient to Modern Times*. Oxford University Press.

Krause, E. F. (1986). *Taxicab Geometry: An Adventure in Non-Euclidean Geometry*. Dover Publications.

Kripke, S. A. (1980). *Naming and Necessity*. Harvard University Press.

Lewis, D. (1986). *On the Plurality of Worlds*. Blackwell.

Maddy, P. (1997). *Naturalism in Mathematics*. Oxford University Press.

Richman, F. (1997). Taxicab Geometry. *The College Mathematics Journal*, 28(4), 291–294.

Shapiro, S. (2000). *Thinking About Mathematics: The Philosophy of Mathematics*. Oxford University Press.

Susskind, L. (2005). *The Cosmic Landscape: String Theory and the Illusion of Intelligent Design*. Little, Brown.

Thompson, A. C. (1996). *Minkowski Geometry*. Cambridge University Press.

Weinberg, S. (1987). Anthropic Bound on the Cosmological Constant. *Physical Review Letters*, 59(22), 2607–2610.